Aturan turunan adalah kumpulan rumus dan teorema yang digunakan untuk menghitung turunan suatu fungsi matematika. Dalam kalkulus, turunan adalah alat yang sangat penting untuk mempelajari perubahan suatu fungsi dalam kaitannya dengan variabel independennya. Aturan turunan memungkinkan kita untuk menghitung turunan dengan lebih efisien dan akurat. Salah satu aturan turunan yang penting adalah teorema fungsi turunan.
Daftar Isi
Apa itu Teorema Fungsi Turunan?
Teorema fungsi turunan adalah sebuah aturan yang menyatakan bahwa jika dua fungsi memiliki turunan, maka turunan dari fungsi hasil operasi antara dua fungsi tersebut dapat dihitung berdasarkan aturan turunan yang telah ditentukan. Dalam matematika, terdapat beberapa teorema fungsi turunan yang umum digunakan, antara lain:
1. Aturan Penjumlahan
Aturan penjumlahan menyatakan bahwa jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang dapat diturunkan, maka turunan dari jumlah f(x) + g(x) dapat dihitung dengan menjumlahkan turunan f(x) dan turunan g(x). Dalam notasi matematika, aturan penjumlahan dapat dituliskan sebagai berikut:
f'(x) + g'(x) = (f + g)'(x)
Contoh:
Jika f(x) = 2x^2 + 3x dan g(x) = 4x – 1, maka turunan dari f(x) + g(x) adalah:
f'(x) = 4x + 3
g'(x) = 4
(f + g)'(x) = (4x + 3) + 4 = 8x + 7
2. Aturan Perkalian
Aturan perkalian menyatakan bahwa jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang dapat diturunkan, maka turunan dari perkalian f(x) * g(x) dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
(f * g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)
Contoh:
Jika f(x) = x^2 dan g(x) = 3x, maka turunan dari f(x) * g(x) adalah:
f'(x) = 2x
g'(x) = 3
(f * g)'(x) = (2x) * (3x) + (x^2) * 3 = 6x^2 + 3x^2 = 9x^2
3. Aturan Fungsi Komposisi
Aturan fungsi komposisi, juga dikenal sebagai aturan rantai, menyatakan bahwa jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang dapat diturunkan, maka turunan dari fungsi komposisi f(g(x)) dapat dihitung dengan menggunakan rumus:
(f(g(x)))’ = f'(g(x)) * g'(x)
Contoh:
Jika f(x) = x^2 dan g(x) = 3x, maka turunan dari f(g(x)) adalah:
f'(x) = 2x
g'(x) = 3
(f(g(x)))’ = (2(3x)) * 3 = 18x
Contoh Penggunaan Teorema Fungsi Turunan
Untuk lebih memahami penggunaan teorema fungsi turunan, berikut ini adalah beberapa contoh penggunaannya dalam perhitungan turunan fungsi:
Contoh 1: Menghitung Turunan Fungsi Polinomial
Misalkan kita memiliki fungsi f(x) = 3x^3 – 2x^2 + 5x – 1. Untuk menghitung turunan dari fungsi ini, kita dapat menggunakan aturan turunan untuk setiap suku polinomialnya:
- Turunan dari suku x^3 adalah 3x^2
- Turunan dari suku x^2 adalah 2x
- Turunan dari suku x adalah 1
- Turunan dari konstanta -1 adalah 0
Jadi, turunan dari f(x) = 3x^3 – 2x^2 + 5x – 1 adalah f'(x) = 3x^2 – 4x + 5.
Contoh 2: Menghitung Turunan Fungsi Trigonometri
Misalkan kita memiliki fungsi f(x) = sin(2x) + cos(3x). Untuk menghitung turunan dari fungsi ini, kita dapat menggunakan aturan turunan fungsi trigonometri:
- Turunan dari sin(2x) adalah 2cos(2x)
- Turunan dari cos(3x) adalah -3sin(3x)
Jadi, turunan dari f(x) = sin(2x) + cos(3x) adalah f'(x) = 2cos(2x) – 3sin(3x).
FAQs
1. Apa itu turunan fungsi?
Turunan fungsi adalah konsep dalam matematika yang menggambarkan perubahan suatu fungsi dalam kaitannya dengan variabel independennya. Dalam kalkulus, turunan mengukur laju perubahan suatu fungsi pada suatu titik.
2. Mengapa aturan turunan penting?
Aturan turunan penting karena memungkinkan kita untuk menghitung turunan suatu fungsi dengan lebih efisien dan akurat. Dengan menggunakan aturan turunan, kita dapat menghitung turunan dari fungsi yang kompleks dengan mudah.
3. Apa hubungan antara turunan dan integral?
Turunan dan integral adalah dua konsep yang saling terkait dalam kalkulus. Turunan menggambarkan laju perubahan suatu fungsi, sedangkan integral menggambarkan akumulasi suatu fungsi. Turunan dan integral merupakan operasi yang saling berbalik satu sama lain.
4. Apa perbedaan antara turunan parsial dan turunan biasa?
Turunan parsial adalah turunan suatu fungsi terhadap satu variabel tertentu, sementara turunan biasa adalah turunan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Turunan parsial digunakan ketika terdapat lebih dari satu variabel dalam suatu fungsi.
5. Bagaimana cara menghitung turunan fungsi eksponensial?
Untuk menghitung turunan fungsi eksponensial, kita dapat menggunakan aturan turunan yang berlaku untuk fungsi eksponensial. Misalnya, jika f(x) = e^x, maka turunan dari f(x) adalah f'(x) = e^x.
Kesimpulan
Aturan turunan sangat penting dalam kalkulus karena memungkinkan kita untuk menghitung turunan suatu fungsi dengan lebih efisien dan akurat. Teorema fungsi turunan adalah salah satu aturan turunan yang penting, yang memungkinkan kita untuk menghitung turunan fungsi hasil operasi antara dua fungsi. Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh penggunaan teorema fungsi turunan dalam menghitung turunan fungsi polinomial dan fungsi trigonometri. Dengan memahami aturan turunan dan teorema fungsi turunan, kita dapat lebih mudah menganalisis dan memahami perubahan suatu fungsi dalam kaitannya dengan variabel independennya.
