Diketahui sistem persamaan 4x – 3y = 1 dan 2x – y = -3, maka

Sistem persamaan linear adalah salah satu topik penting dalam matematika yang digunakan untuk memodelkan berbagai situasi dunia nyata. Dalam artikel ini, kita akan mempelajari sistem persamaan linear dengan dua variabel dan mencari solusi dari sistem persamaan linier yang diberikan. Dalam kasus ini, kita akan mengevaluasi sistem persamaan 4x – 3y = 1 dan 2x – y = -3. Mari kita lihat bagaimana kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan metode eliminasi atau substitusi.

1. Metode Eliminasi

Metode eliminasi adalah salah satu metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Ide dasar di balik metode ini adalah mengeliminasi salah satu variabel dengan mengalikan persamaan dengan faktor yang sesuai untuk mencapai koefisien yang sama atau berlawanan. Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan ini dengan metode eliminasi:

1. Langkah pertama adalah meninjau koefisien variabel x dalam kedua persamaan. Dalam kasus ini, koefisien x adalah 4 dan 2.
2. Untuk menghilangkan variabel x, kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan -2 dan persamaan kedua dengan 4. Ini memberi kita persamaan baru:

-8x + 6y = -2

8x – 4y = -12

1. Jika kita menjumlahkan kedua persamaan ini, variabel x akan tereliminasi dan kita akan diperoleh persamaan baru hanya dengan variabel y:

2y = -14

1. Dengan membagi kedua sisi persamaan dengan 2, kita mendapatkan:

y = -7

1. Sekarang kita dapat menggantikan nilai y ke salah satu persamaan asli untuk mencari nilai x. Mari kita gunakan persamaan pertama:

4x – 3(-7) = 1

1. Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapat mencari nilai x:

4x + 21 = 1

4x = -20

x = -5

1. Jadi, solusi dari sistem persamaan ini adalah x = -5 dan y = -7.

2. Metode Substitusi

Metode substitusi adalah metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Ide dasar di balik metode ini adalah menggantikan salah satu variabel dengan ekspresi yang didasarkan pada variabel lain dalam sistem persamaan. Berikut adalah langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan ini dengan metode substitusi:

1. Langkah pertama adalah menyelesaikan salah satu persamaan untuk satu variabel. Misalnya, kita dapat menyelesaikan persamaan kedua untuk variabel x:

2x = y – 3

x = (y – 3) / 2

1. Sekarang kita dapat menggantikan x dalam persamaan pertama dengan ekspresi (y – 3) / 2:

4((y – 3) / 2) – 3y = 1

1. Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapat mencari nilai y:

2y – 6 – 3y = 1

-y = 7

y = -7

1. Sekarang kita dapat menggantikan nilai y ke persamaan kedua untuk mencari nilai x:

2x – (-7) = -3

1. Dengan menyederhanakan persamaan ini, kita dapat mencari nilai x:

2x + 7 = -3

2x = -10

x = -5

1. Jadi, solusi dari sistem persamaan ini adalah x = -5 dan y = -7.

3. Interpretasi Grafis

Selain metode eliminasi dan substitusi, kita juga dapat memvisualisasikan sistem persamaan ini dalam grafik untuk mendapatkan pemahaman yang lebih intuitif tentang solusi sistem persamaan linier. Dalam kasus ini, kita akan menggambar grafik dari kedua persamaan dan mencari titik potongnya.

Untuk menggambar grafik persamaan pertama, kita dapat menggunakan titik potong dengan sumbu x dan y. Ketika x = 0, maka y = 1/3. Ketika y = 0, maka x = 1/4. Kita dapat menghubungkan kedua titik ini dan mendapatkan garis linear.

Untuk menggambar grafik persamaan kedua, kita dapat menggunakan titik potong dengan sumbu x dan y. Ketika x = 0, maka y = -3. Ketika y = 0, maka x = -3/2. Kita dapat menghubungkan kedua titik ini dan mendapatkan garis linear.

Setelah menggambar kedua garis ini, kita dapat melihat bahwa garis-garis tersebut bertemu di titik (-5, -7), yang merupakan solusi dari sistem persamaan.

4. Keunikan Solusi

Dalam sistem persamaan ini, terdapat satu solusi yang unik. Hal ini terjadi ketika garis-garis yang mewakili persamaan-persamaan tersebut bertemu di satu titik tunggal. Jika kedua persamaan saling sejajar atau sama, maka sistem persamaan akan memiliki banyak solusi atau tidak ada solusi.

5. Contoh Kasus

Untuk memberikan contoh kasus yang lebih jelas, mari kita gunakan sistem persamaan 3x + 2y = 12 dan 2x – 4y = 2. Kita dapat menggunakan metode eliminasi atau substitusi untuk menyelesaikan sistem persamaan ini. Menggunakan metode eliminasi, kita akan mendapatkan solusi x = 2 dan y = 3. Menggunakan metode substitusi, kita juga akan mendapatkan solusi yang sama. Jadi, solusi sistem persamaan ini adalah x = 2 dan y = 3.

FAQs

1. Apa itu sistem persamaan linear?

Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear yang terdiri dari dua atau lebih variabel. Tujuannya adalah mencari nilai-nilai variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem.

2. Mengapa kita perlu menyelesaikan sistem persamaan linear?

Menyelesaikan sistem persamaan linear memungkinkan kita untuk menemukan titik-titik di mana beberapa garis atau permukaan saling berpotongan dalam ruang tiga dimensi. Ini sangat penting dalam matematika, ilmu fisika, dan berbagai bidang lainnya.

3. Apa perbedaan antara metode eliminasi dan substitusi?

Metode eliminasi melibatkan mengeliminasi satu variabel dengan mengalikan persamaan dengan faktor yang sesuai, sementara metode substitusi melibatkan menggantikan salah satu variabel dengan ekspresi yang didasarkan pada variabel lain dalam sistem persamaan.

4. Apa arti dari solusi unik dalam sistem persamaan linear?

Solusi unik berarti bahwa sistem persamaan memiliki satu titik di mana semua persamaan terpenuhi. Ini adalah kasus ketika garis-garis yang mewakili persamaan-persamaan tersebut bertemu di satu titik tunggal.

5. Apakah ada metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?

Ya, selain metode eliminasi dan substitusi, ada juga metode matriks dan metode determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Metode yang tepat untuk digunakan tergantung pada situasi dan preferensi pribadi.

Kesimpulan

Sistem persamaan 4x – 3y = 1 dan 2x – y = -3 dapat diselesaikan menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Dalam kedua kasus, solusi sistem persamaan ini adalah x = -5 dan y = -7. Visualisasi grafis juga dapat membantu memahami solusi dengan memplot garis-garis yang mewakili persamaan-persamaan tersebut. Menyelesaikan sistem persamaan linear adalah keterampilan penting dalam matematika yang dapat diterapkan dalam berbagai situasi dunia nyata.

FAQs Setelah Kesimpulan

1. Apa itu sistem persamaan linear?

Sistem persamaan linear adalah kumpulan persamaan linear yang terdiri dari dua atau lebih variabel. Tujuannya adalah mencari nilai-nilai variabel yang memenuhi semua persamaan dalam sistem.

2. Mengapa kita perlu menyelesaikan sistem persamaan linear?

Menyelesaikan sistem persamaan linear memungkinkan kita untuk menemukan titik-titik di mana beberapa garis atau permukaan saling berpotongan dalam ruang tiga dimensi. Ini sangat penting dalam matematika, ilmu fisika, dan berbagai bidang lainnya.

3. Apa perbedaan antara metode eliminasi dan substitusi?

Metode eliminasi melibatkan mengeliminasi satu variabel dengan mengalikan persamaan dengan faktor yang sesuai, sementara metode substitusi melibatkan menggantikan salah satu variabel dengan ekspresi yang didasarkan pada variabel lain dalam sistem persamaan.

4. Apa arti dari solusi unik dalam sistem persamaan linear?

Solusi unik berarti bahwa sistem persamaan memiliki satu titik di mana semua persamaan terpenuhi. Ini adalah kasus ketika garis-garis yang mewakili persamaan-persamaan tersebut bertemu di satu titik tunggal.

5. Apakah ada metode lain untuk menyelesaikan sistem persamaan linear?

Ya, selain metode eliminasi dan substitusi, ada juga metode matriks dan metode determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier. Metode yang tepat untuk digunakan tergantung pada situasi dan preferensi pribadi.

Ringkasan

Sistem persamaan 4x – 3y = 1 dan 2x – y = -3 dapat diselesaikan menggunakan metode eliminasi atau substitusi. Dalam kedua kasus, solusi sistem persamaan ini adalah x = -5 dan y = -7. Visualisasi grafis juga dapat membantu memahami solusi dengan memplot garis-garis yang mewakili persamaan-persamaan tersebut. Menyelesaikan sistem persamaan linear adalah keterampilan penting dalam matematika yang dapat diterapkan dalam berbagai situasi dunia nyata.