Rumus Integral Substitusi dan Parsial, Kenali Bentuk Soal!

Dalam matematika, rumus integral adalah salah satu konsep penting yang digunakan untuk menghitung luas di bawah kurva. Integral dapat digunakan dalam berbagai bidang, seperti fisika, ekonomi, dan teknik. Ada berbagai metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan integral, dan dua di antaranya adalah rumus integral substitusi dan parsial. Dalam artikel ini, kami akan menjelaskan kedua rumus ini secara detail dan memberikan contoh soal yang dapat membantu Anda memahaminya dengan baik.

I. Rumus Integral Substitusi

Rumus integral substitusi, juga dikenal sebagai metode perubahan variabel, digunakan ketika kita ingin mengubah variabel dalam integral untuk mempermudah perhitungan. Dalam metode ini, kita menggunakan substitusi yang tepat untuk menggantikan variabel integral dengan variabel baru. Berikut adalah rumus umum untuk integral substitusi:

Source: None

Di mana f(u) adalah fungsi yang mau diintegralkan, g(x) adalah fungsi substitusi, dan g'(x) adalah turunan pertama dari fungsi substitusi.

Langkah-langkah umum untuk menyelesaikan integral dengan menggunakan rumus integral substitusi adalah sebagai berikut:

1. Tentukan fungsi substitusi yang tepat.
2. Hitung turunan pertama dari fungsi substitusi.
3. Gantikan variabel integral dengan variabel substitusi.
4. Ubah batas integrasi dalam hal variabel substitusi.
5. Hitung integral yang baru.
6. Ganti variabel substitusi dengan variabel asli.

Contoh Soal:

Hitunglah integral berikut ini menggunakan rumus integral substitusi:

Source: None

Solusi:

Langkah 1: Tentukan fungsi substitusi yang tepat.

Kita dapat menggunakan substitusi u = x². Dalam hal ini, g(x) = x² dan g'(x) = 2x.

Langkah 2: Hitung turunan pertama dari fungsi substitusi.

g'(x) = 2x.

Langkah 3: Gantikan variabel integral dengan variabel substitusi.

∫ 4x³ e^x2 dx = ∫ 2u e^u du.

Langkah 4: Ubah batas integrasi dalam hal variabel substitusi.

Apabila batas integrasi asli adalah a dan b, maka batas integrasi dalam hal variabel substitusi adalah g(a) dan g(b).

Langkah 5: Hitung integral yang baru.

∫ 2u e^u du = 2 ∫ u e^u du.

Langkah 6: Ganti variabel substitusi dengan variabel asli.

∫ 2u e^u du = ∫ 2x² e^x2 dx.

Jadi, integral dari 4x³ e^x2 dx adalah 2 ∫ x² e^x2 dx.

II. Rumus Integral Parsial

Rumus integral parsial merupakan metode yang digunakan untuk menyelesaikan integral dari perkalian dua fungsi. Dalam metode ini, kita menggunakan rumus berikut:

Source: None

Di mana u dan v adalah fungsi-fungsi yang mau diintegralkan, dan uv adalah hasil perkalian dari kedua fungsi tersebut.

Langkah-langkah umum untuk menyelesaikan integral dengan menggunakan rumus integral parsial adalah sebagai berikut:

1. Tentukan fungsi-fungsi u dan v.
2. Hitung turunan pertama dari fungsi u dan integral dari fungsi v.
3. Gantikan fungsi-fungsi tersebut dalam rumus integral parsial.
4. Hitung integral yang baru.

Contoh Soal:

Hitunglah integral berikut ini menggunakan rumus integral parsial:

Source: None

Solusi:

Langkah 1: Tentukan fungsi-fungsi u dan v.

Kita dapat memilih u = ln(x) dan v = x². Dalam hal ini, du/dx = 1/x dan ∫ v dx = ∫ x² dx = (1/3) x³.

Langkah 2: Hitung turunan pertama dari fungsi u dan integral dari fungsi v.

du/dx = 1/x dan ∫ v dx = (1/3) x³.

Langkah 3: Gantikan fungsi-fungsi tersebut dalam rumus integral parsial.

∫ u dv = uv – ∫ v du.

∫ ln(x) x² dx = ln(x) (1/3) x³ – ∫ (1/3) x³ (1/x) dx.

Langkah 4: Hitung integral yang baru.

∫ ln(x) x² dx = (1/3) ln(x) x³ – (1/3) ∫ x² dx.

∫ ln(x) x² dx = (1/3) ln(x) x³ – (1/9) x³ + C.

Jadi, integral dari ln(x) x² dx adalah (1/3) ln(x) x³ – (1/9) x³ + C.

III. Kesimpulan

Rumus integral substitusi dan parsial adalah dua metode yang berguna dalam menyelesaikan integral yang sulit. Dengan menggunakan rumus-rumus ini, kita dapat mengubah variabel integral, mempercepat perhitungan, dan mencapai hasil yang akurat. Penting untuk memahami kedua rumus ini dan mampu mengidentifikasi jenis soal yang memerlukan penggunaan rumus integral substitusi atau parsial.

Integrasi adalah salah satu konsep yang paling penting dalam matematika, dan pemahaman yang baik tentang rumus integral akan sangat bermanfaat dalam menyelesaikan berbagai masalah dalam berbagai bidang. Dengan menguasai rumus integral substitusi dan parsial, Anda dapat dengan percaya diri menyelesaikan integral yang lebih kompleks dan memperluas pemahaman tentang matematika.

IV. FAQ

1. Apa perbedaan antara rumus integral substitusi dan parsial?

Rumus integral substitusi digunakan ketika kita ingin mengubah variabel dalam integral, sedangkan rumus integral parsial digunakan ketika kita memiliki perkalian dua fungsi dalam integral.

2. Bagaimana menentukan fungsi substitusi yang tepat dalam rumus integral substitusi?

Untuk menentukan fungsi substitusi yang tepat, kita harus mencari fungsi yang ketika kita menggantikan variabel integral dengan fungsi tersebut, integral menjadi lebih mudah dihitung.

3. Kapan kita menggunakan rumus integral parsial?

Kita menggunakan rumus integral parsial ketika kita memiliki perkalian dua fungsi dalam integral.

4. Mengapa penting untuk memahami rumus integral substitusi dan parsial?

Pemahaman yang baik tentang rumus integral substitusi dan parsial akan memungkinkan kita menyelesaikan integral yang sulit, mempercepat perhitungan, dan mencapai hasil yang akurat.

5. Apa manfaat dari menguasai rumus integral substitusi dan parsial?

Dengan menguasai rumus integral substitusi dan parsial, kita dapat dengan percaya diri menyelesaikan integral yang lebih kompleks dan memperluas pemahaman tentang matematika.